Наиболее распространенной моделью прикладной теории логистики является модель оптимального или экономичного размера заказа EOQ (Economic Order Quantity) . В качестве критерия оптимизации принимается минимум общих затрат C Σ , включающих затраты на выполнение заказов С з и затраты на хранение запаса на складе С x в течение определенного периода времени (год, квартал и т.п.)
где: С 0 -затраты на выполнение одного заказа, руб;
А - потребность в заказываемом продукте в течение данного периода, шт.;
С n - цена единицы продукции, хранимой на складе, руб.;
i - доля от цены С n , приходящейся на затраты по хранению;
S - искомая величина заказа, шт.
На рис.6.1 представлены составляющие затрат C 3 и C x и суммарные затраты C Σ в зависимости от размера заказа.
Из рис.6.1 видно, что затраты на выполнение заказов с увеличением размера заказа уменьшаются, подчиняясь гиперболической зависимости (кривая1); затраты на хранение партии поставки возрастают прямо пропорционально размеру заказа (линия 2); кривая общих затрат (кривая 3), имеет вогнутый характер, что говорит о наличии минимума, соответствующего оптимальной партии S 0 .
Значение оптимума S 0 совпадает с точкой пересечения зависимостей C 3 и C x . Это объясняется тем, что абсцисса точки пересечения S находится из решения уравнения
(6.2)
Рис. 6.1 Зависимость затрат от размера заказа: 1 – затраты на выполнение заказа; 2 – затраты на хранение; 3 – суммарные затраты.
(6.3)
При других зависимостях C 3 = f(S) и C x = f(S) указанного, совпадение может не наблюдаться и в этом случае необходимо применить процедуру оптимизации. Так, для функции (6.1) находим
(6.4)
Решая уравнение (6.4), приходим к формуле (6.3) для определения EOQ.
Зная S 0 , нетрудно определить количество заказов
N=A / S 0 , (6.5)
минимальные суммарные затраты за рассматриваемый период
(6.6)
время между заказами
T 3 =Д p S 0 / A=Д p / N, (6.7)
где Д р – продолжительность рассматриваемого периода.
Если речь идет о количестве рабочих дней в году, то Д p =260 дней, если о количестве недель, то Д p =52 недели.
Формула (6.3) встречается в различных источниках под следующими названиями: Уилсона (наиболее распространенная), Вильсона, Харриса, Кампа.
Формула (6.3) получена при большом количестве допущений:
· затраты на выполнение заказа C o , цена поставляемой продукции С п и затраты на хранение единицы продукции в течение рассматриваемого периода постоянны;
· период между заказами (поставками) постоянный, т.е. Тз = const .;
· заказ S o выполняется полностью, мгновенно;
· интенсивность спроса - постоянна;
· емкость склада не ограничена;
· рассматриваются только текущие (регулярные) запасы, другие виды запасов (страховые, подготовительные, сезонные, транзитные и т.д.) не учитываются.
Анализ ряда работ показал, что трактовка затрат С o , связанных с заказом, носит дискуссионный характер. Так, в большинстве работ С o включает транспортно-заготовительные затраты: от расходов на заключение договора и поиска поставщиков до оплаты услуг по доставке. Например, в работе затраты на поставку единицы заказываемого продукта включают следующие элементы:
· стоимость транспортировки заказа;
· затраты на разработку условий поставки;
· стоимость контроля выполнения заказа;
· затраты на выпуск каталогов;
· стоимость форм документов.
В других работах, например , транспортные затраты не входят в C 0 и представлены в виде дополнительных слагаемых в формуле (6.1): собственно затрат на транспортировку и затрат, связанных с запасами на время в пути.
Еще один вариант учета транспортных затрат состоит в том, что они учитываются в стоимости единицы продукции C n , поступивший на склад. Если покупатель сам оплачивает транспортные расходы и несет полную ответственность за груз в пути, то это приводит к тому, что при оценки стоимости товаров, хранящихся на складе в качестве запасов, к их закупочной цене следует прибавить транспортные расходы .
В табл.6.1 приведены результаты расчетов оптимальной партии заказа: количество заказов в год и периодичность заказа при Д p =260 дней. Из табл.6.1 видно, что формула (3) охватывает широкий диапазон величины заказов в течение расчетного периода; при этом составляющая i , связанная с оценкой затрат на хранение в основном колеблется в довольно узком диапазоне 0,2-0,25.
О распространении формулы (6.3) говорит такой факт, что фирма «Вольво» снабжает своих агентов и дилеров специальной счетной линейкой, разработанной на основе формулы Уилсона . Однако проведенные исследования показали, что даже с соблюдением всех ограничений, допущения, принятые при выводе формулы Уилсона, требуют уточнения, в частности, затраты на хранение.
В модели (6.1) предполагается, что оплата за хранение единицы продукции пропорциональна ее цене, а среднее количество находящейся на хранении продукции при постоянной интенсивности спроса на данный период времени равно
Таблица 6.1.
Исходные данные и оптимальные размеры заказа, рассчитанные по формуле Уилсона
| Исходные данные | S 0 , шт. | Кол-во заказов N | Периодичность заказа, Т 3 , дн. | Источник | |||
| C 0 | A | C n | i* | ||||
| 0,20 | Аникин Б.А. и др. | ||||||
| 0,10 | Гаджинский А.М., | ||||||
| 0,1 | Неруш Ю.М. | ||||||
| 60,8 | 29,3 | 0,22 | Сергеев В.И. | ||||
| 0,2 | Бауэрсокс Д., Клосс Д. | ||||||
| 45** | 0,25 | Линдерс М., | |||||
| Фарон Х. | |||||||
| Shapiro S.F. | |||||||
| 0,2 | Джонсон Д. и др. | ||||||
| Примечание: *)-доля от годовой стоимости запаса на хранение; | |||||||
| **)- в стоимость хранения включены затраты на транспортировку; |
Из рис.6.2 виден принцип получения зависимости . Так, если бы за время Т был произведен один заказ, равный потребности в заказываемом продукте А, то в среднем на хранении находилось бы А/2 продукции. Если два заказа с интервалом T/2, то среднее количество хранимой продукции было бы А/4 и т.д.
Рис.6.2 определение средней величины запаса на складе:
а) – максимальный запас А; б)-максимальный запас А/2
Однако, практика аренды складских помещений, а также расчеты затрат на хранение на складах ряда фирм, говорят о том, что как правило учитывается не средний размер партии, а площадь (или объем) склада, которая требуется для всей поступившей партии
С x = akS, (6.9)
где: а- затраты на хранение единицы продукции с учетом занимаемой площади (объема) склада, руб.\м 2 (руб.\м 3);
к- коэффициент, учитывающий пространственные габариты единицы продукции, м 2 \шт. (м 3 \шт.).
С учетом (6.9) расчетная формула для оптимальной величины заказа запишется в виде
, (6.10)
Теперь, когда становится ясным, что оплата за хранение продукции может быть связана не только с величиной , предлагается ввести более гибкую зависимость вида
C x = βC n iS, (6.11)
где: β - коэффициент, отражающий связь между долей от стоимости объема заказа и установленной арендной платой. Коэффициент β может изменяться в широких пределах.
При подстановке (6.11) в формулу (6.1) после преобразований находим
, (6.12)
При β = 0,5 приходим к зависимости (3).
Вторым не мене важным условием, которое необходимо учитывать при расчете EOQ, являются скидки. Известно, что при покупке партии товара большинство фирм дает скидки, величина которых зависит от размера партии S.
Наиболее часто в работах по управлению запасами приводится дискретные зависимости, отражающие изменение цены единицы продукции C nj от размера партии S i , рис.6.3. Здесь возможны различные ситуации. Первая, когда цена меняется, а затраты на хранение остаются такими же, т.е. не зависят от изменения цены. Вторая, когда вместе с изменением цены пропорционально изменяются затраты на хранение. Третья, наиболее общая, ситуация, при которой между изменениями цены и изменяющимися затратами на хранение не наблюдается однозначной зависимости. Для примера в табл.6.2 приведены скидки на цены и затраты на хранение в зависимости от размера партии .
Аналитическая зависимость общих издержек, связанных с запасами, записывается в виде системы уравнений для каждой j-й цены и для каждого уравнения рассчитывается оптимальная величина заказа S oj . Если величины S oj находятся внутри граничных значений j-й партии, то они сохраняются для дальнейших сравнительных расчетов. Если нет, то расчеты общих издержек производятся для граничных значений j-ой цены и они учитываются при сравнении издержек.
Рис. 6.3. Зависимости, отражающие скидки с цены продукции:
а - дискретная ("ступенчатая") зависимость и ее аппроксимация прямой, формула (6.14);
б - нелинейные зависимости скидок, формула (6.15): 1 (а 0 = 0,7; в 0 = 0,99);
2 (а 0 = 0,5; в 0 = 0,99).
Таблица 6.2
Изменение цены и затраты на хранение от размера партии
Запишем систему уравнений для общих издержек с учетом данных, приведенных в табл.6.2, а также следующих условий : А=10 6 ед.; С 0 =2,5 у.е.; β = 0,5
|
С помощью формулы (6.3) находим оптимальные величины заказа для каждой партии: S 01 =9130 ед.; S 02 =11180 ед.; S 03 =12910 ед.
Поскольку величины заказов S 01 и S 02 лежат в пределах граничных значений, то они должны быть выбраны в качестве оптимальных. Для третьей величины S 03 ограничение на размер партии не соблюдается, поэтому рассчитываются минимальные общие издержки на границе при S = 20 000 ед.
Проведя аналогичные расчеты для второго уравнения при S 02 , т.е. для оптимальной партии, находим С 2 min = 2000450 у.е.
Следовательно, наименьшие общие затраты, связанные с запасами, соответствуют величине партии S= 20000 ед.
При увеличении количества ступеней «лестницы скидок», вместо системы уравнений (6.13) используются непрерывные зависимости, рис. 6.3.,
(6.14)
(6.15)
где γ, a i , b i - коэффициенты.
Рассмотрим пример определения C n и коэффициента γ уравнения (6.14) на основании данных, приведенных в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Скидки с цены за объем закупок
Из рис.6.3. видно, что можно применить разные зависимости: по минимуму, по максимуму или средней величине объема закупок при одинаковой цене за единицу товара. Если выбрана зависимость для максимальных значений, то в качестве опорных точек могут быть взяты любые значения из правого столбца таблицы, например 99 ед. и 300 ед. Тогда, уравнения для определения C n и γ запишутся в виде
5 = C n (1- γ · 99),
4 = C n (1- γ · 300).
После преобразований находим C n =5, 492, γ = 0,0009 , т.е. C s = 5,492 (1-0,0009 S), 1 £ S < 1110.
Рассмотрим зависимость (6.15), рис.6.3. б. Коэффициент a 0 отражает предельное снижение цены единицы продукции C п при S ®¥. Допустим, что коэффициент а 1 = 1 – а 0 .
Коэффициенты b 0 и b 1 позволяют охарактеризовать изменения кривой C s . Предположим, что 0 < b 0 < 1 и коэффициенты b 0 и b 1 связаны соотношением b 1 = 1 - b 0 .
В табл. 6.4. приведены значения функции C s при C n = 1 для различных величин заказа S (от 10 до 500), при а 0 =0,7 и а 0 =0,5, а также различных коэффициентах b 0 . Из анализа данных табл. 6.4. следует, что функция (6.15) позволяет довольно гибко учитывать зависимость между величиной скидки и объемом заказа.
Для примера рассчитаем коэффициенты а i и b i по данным табл. 6.3.
Поскольку предельное уменьшение цены Cmin = 3 дол., то а 0 = 3/5=0,6 и, соответственно, а 1 =0,4.
Для определения коэффициента b 0 воспользуемся значениями S = 250 ед., C s = 4,0 долл., и после подстановки в уравнение (6.15) получим:
откуда b 0 =0,996, b 1 = 1 - b 0 = 0, 004.
Определим оптимальный размер заказа с учетом скидки по формуле (6.14) и введения коэффициента β при учете оплаты за хранение. Тогда, критериальное уравнение запишется в виде
, (6.16)
Приравняв частную производную , после преобразований находим
aS 3 + bS 2 + d = 0, (6.17)
где: а = 2βγС ni ; b = -βС ni ; d = C 0 A.
Таблица 6.4
Изменение величины скидки в зависимости от объема заказа,
формула (6.15)
| Заказ S, шт. | Коэффициенты b 0 (при a 0 =0,7) | Коэффициенты b 0 (при a 0 =0,5) | ||||
| 0,7 | 0,9 | 0,99 | 0,7 | 0,9 | 0,99 | |
| 0,780 | 0,860 | 0,975 | 0,635 | 0,751 | 0,959 | |
| 0,719 | 0,751 | 0,901 | 0,532 | 0,584 | 0,836 | |
| 0,710 | 0,728 | 0,850 | 0,516 | 0,546 | 0,751 | |
| 0,705 | 0,714 | 0,800 | 0,508 | 0,524 | 0,667 | |
| 0,703 | 0,710 | 0,775 | 0,505 | 0,516 | 0,625 | |
| 0,702 | 0,707 | 0,760 | 0,504 | 0,512 | 0,600 | |
| 0,702 | 0,705 | 0,750 | 0,503 | 0,509 | 0,583 |
Для решения кубического уравнения (6.17) можно воспользоваться аналитическим или численным (итерационным) способами.
Аналитический способ . Один из вариантов сводится к следующему:
1. Вводится новая переменная y = S+(b\3a) .
2. При подстановке в уравнение (6.17), после преобразований находим:
y 3 + 3py + 2q = 0, (6.18)
где p = -b 2 /9a 2
; 
3. Число действительных корней уравнения (6.18) зависит от знака дискриминанта
D = q 2 + p 3
При D >0 действительный корень равен (формула Кардана)
При D < 0 для определения корней уравнения (6.18) используются специальные формулы.
Приближенный способ (метод итераций). Запишем уравнение (6.17) в виде
, (6.20)
где S 0 рассчитывается по формуле (6.12).
Подставив в правую часть S=S 0 , находим первое приближение S 1 и сравним с S 0 , затем подставляем S=S 1 и находим S 2 и т.д. Процесс повторяется несколько раз до достижения заданной точности.
Пример. Определим оптимальную величину заказа при учете скидок, формула (6.14), и следующих исходных данных: А=1200 ед., С 0 =60,8 у.е.; С n =29,3 у.е., i =0,22; β =0,5 и γ =0,001. Тогда, уравнение суммарных затрат запишется в виде
Для исследования зависимости C Σ =f(S),
выполним вспомогательные расчеты (см. табл. 6.5) и построим график C Σ =f(S)
, рис.6.4. Из рис.6.4 видно, что учет скидок приводит к изменению традиционной зависимости C Σ =f(S)
; в данном случае у зависимости суммарных затрат C Σ
наблюдается не только минимум, но и максимум. Это говорит о том, что если величина заказа ограничена, например S (см. рис.6.4), то оптимальное значение S 0 совпадает с минимумом функции C Σ =f(S).
Для определения S 0 воспользуемся формулой (6.12)
Тогда первое приближение
Второе приближение
Продолжив вычисления, находим S 3 =191,5; S 4 = 192,2. В виду того, что ΔS=|S 4 -S 3 |<1, примем S опт. =192.
Пример 2. Определены зависимости составляющих суммарных затрат С S при следующих исходных данных: С 0 = 19 долл.; А = 2400 шт.; b = 0,5; i = 0,2 . Скидки учтены в виде зависимости (6.14); С n = 5,492 дол.; γ = 0,0009. Таким образом, выражение для суммарных затрат запишется в виде:
(6.22)
Таблица 6.5
Расчет составляющих и суммарных затрат на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, формула (6.21)
| Величина заказа, S ед. | Затраты на хранение | Суммарные затраты | |||
| С х | С S | ||||
| Без учета скидки | С учетом скидки | Без учета скидки | С учетом скидки | ||
| 729,6 | 322,0 | 290,1 | 1051,6 | 1019,7 | |
| 486,4 | 483,5 | 411,0 | 969,9 | 897,4 | |
| 364,8 | 644,6 | 515,7 | 1009,4 | 880,5 | |
| 291,8 | 805,5 | 604,3 | 1097,3 | 896,1 | |
| 243,2 | 967,0 | 676,8 | 1210,2 | 919,8 | |
| 182,4 | 1289,2 | 773,3 | 1474,6 | 955,7 | |
| 145,9 | 1611,5 | 805,3 | 1757,4 | 951,1 | |
| 121,6 | 1933,8 | 773,3 | 2055,4 | 895,1 | |
| 104,2 | 2256,1 | 676,8 | 2360,3 | 781,0 | |
| 91,2 | 2578,4 | 515,7 | 2669,6 | 606,9 |
На рис.6.5 представлены составляющие затрат, связанные с заказом и хранением, а также с учетом и без учета скидок на цену товара от величины заказа (вспомогательные расчеты – табл. 6.6).
В отличие от ранее приведенных зависимостей на рис.6.1 и рис.6.4 у С S = f(S) при учете скидок не наблюдается минимума. Это имеет принципиальное значение, поскольку в данном случае невозможно рассчитать значение EOQ – оптимальную величину заказа и она должна быть определена как «экономичная» величина исходя из других критериев или ограничений.
Таблица 6.6
Расчет составляющих сумм-х затрат с учетом скидок на величину заказа, формула (21)
| Величина заказа, | Затраты на выполнение заказа | Затраты на хранение | Суммарные затраты | ||
| S ед. | С х | С S | |||
| Без учета скидки | С учетом скидки | Без учета скидки | С учетом скидки | ||
| 54,9 | |||||
| 109,8 | 90,1 | 337,8 | 318,1 | ||
| 164,8 | 120,3 | 318,8 | 272,3 | ||
| 219,7 | 140,6 | 333,7 | 254,6 | ||
| 91,2 | 274,6 | 151,1 | 365,8 | 242,3 | |
| 76,0 | 329,5 | 151,7 | 405,5 | 227,7 | |
| 65,1 | 384,4 | 142,4 | 449,5 | 207,5 | |
| 57,0 | 439,4 | 132,2 | 496,4 | 180,2 |
Рис. 6.4. Суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.21.):
1 - затраты на выполнение заказа; 2 - затраты на хранение с учетом скидок; 3 - суммарные затраты с учетом скидок; 4 - затраты на хранение (без учета скидок); 5 - суммарные затраты без учета скидок.
Рассмотрим вариант при использовании зависимости (6.15). Тогда уравнение (6.15) запишется в виде:
, (6.23)
Примем, что а 0 =0,6; а 1 =0,4; b 0 =0,996; b 1 =0,004.
Исследуем зависимость C Σ =f(S) . При подстановке исходных данных: С 0 =19 долл., А 0 =2400; β=0,5; С n =5 долл.; i=0,2 находим
, (6.24)
Вспомогательные расчеты приведены в табл.6.7. Графики составляющих и суммарных затрат на рис. 6.6. Из рис.6.6 видно, что при учете скидок минимум С Σ смещается в область больших величин заказа S, при этом сохраняется подобие с зависимостью С Σ , рассчитанной без учета скидок.
Для точного определения оптимальной величины заказа воспользуемся стандартной процедурой, т.е. найдем S опт. из решения уравнения dC Σ /dS=0, где С Σ описывается выражением (6.1). После преобразований находим
KS 4 + LS 2 + M 2 + NS + Q = 0 (6.25)
где K = βc ni a o b 1 2 ; L = 2βc ni a o b o b 1 ; M = βc ni a o b o 2 + βb o c ni a 1 – c o Ab 1 2 ; N = -2c o Ab o b 1 ; Q = -cAb o 2 .
Анализ показал, что наиболее приемлемым является приближенный способ, при этом итерационное уравнение можно записать в виде:
Рассчитаем коэффициенты уравнения (6.25):
К=0,5·5·0,2·0,6·0,004 2 =4,8·10 -6
L=2·0,5·5·0,2·0,6·0,996·0,004=2,39·10 -3
M=0,5·5·0,2·0,6·0,996 2 +0,5·0,996·5·0,2·0,4 - 19·2400·0,004 2 = -0,2328
N= -2·19·2400·0,996·0,004= -363,3
Q= -19·2400·0,996 2 = - 45236
При подстановке численных значений в уравнение (6.26) получим
В качестве начальной итерации примем S 0 =300 . При подстановке в (6.27) находим S 1 = 389,6.
Последующие значения: S 2 =360,1; S 3 =374,7; S 4 =368,2; S 5 =371,3 ; S 6 =370 . Следовательно, шестая итерация позволяет получить приемлемую точность Δ=|S 6 – S 5 |~1.
Рис. 6.5. Составляющие суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.22):
1 - затраты на хранение с учетом скидок; 2 - затраты на хранение (без учета скидок); 3 - затраты на выполнение заказа; 4 - суммарные затраты.
Рис. 6.6. Составляющие суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.24):
1 - затраты на выполнение заказа; 2 - затраты на хранение; 3 - суммарные затраты; 4 - суммарные затраты с учетом скидки.
Оптимальный размер заказа рассчитывается по формуле Уилсона:
где q 0 – оптимальный размер заказа, шт.;
С 1 – стоимость выполнения одного заказа, руб. (накладные расходы);
Q – потребность в товарно-материальных ценностях за определенный период времени (год), шт.;
C 2 – затраты на содержание единицы запаса, руб./шт.
Назначение сервиса . Сервис предназначен для расчета параметров системы управления запасами :
- с фиксированным размером заказа;
- с фиксированным интервалом времени между заказами.
Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий
Моделирование работы склада обычно делаются следующие предположения:- скорость расходования запасов со склада - постоянная величина, которую обозначим М (единиц товарных запасов в единицу времени); в соответствии с этим график изменения величины запасов в части расходования является отрезком прямой;
- объем партии пополнения Q есть постоянная величина, так что система управления запасами - это система с фиксированным размером заказа;;
- время разгрузки прибывшей партии пополнения запасов мало, будем считать его равным нулю;
- время от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть постоянная величина Δt, так что можно считать, что заказанная партия приходит как бы мгновенно: если нужно, чтобы она пришла точно в определенный момент, то ее следует заказать в момент времени на Δt ранее;
- на складе не происходит систематического накопления или перерасхода запасов. Если через Т обозначить время между двумя последовательными поставками, то обязательно выполнение равенства: Q = МТ. Из сказанного выше следует, что работа склада происходит одинаковыми циклами длительностью Т, и за время цикла величина запаса изменяется от максимального уровня S до минимального уровня s;
- считается обязательным выполнение требования, чтобы отсутствие запасов на складе было недопустимым, т.е. выполняется неравенство s ≥ 0. С точки зрения уменьшения издержек склада на хранение отсюда вытекает, что s = 0 и, следовательно, S = Q.
Пример
. Химическое предприятие производит бисульфат соды в упаковках по 50 кг. Спрос на этот товар - 20 тонн в день. Существующие мощности позволяют производить по 50 тонн в день. Стоимость наладки оборудования $100, стоимость хранения и погрузочных работ - $5 за тонну в год. Предприятие работает 200 дней в году.
Какое количество упаковок оптимально для производственного цикла? Каким будет средний уровень запасов для данного объема производственной партии? Какова примерная продолжительность производственного цикла? Сколько производственных циклов будет в году? Сколько компания сможет сэкономить в год, если снизит стоимость наладки до $25 за производственный цикл?
C2 = 5, N = 200, C1=100, Q = 20000
С точки зрения логистической концепции управления на предприятии должен иметься оптимальный запас необходимых материалов и сырья, который позволяет обеспечить бесперебойную деятельность фирме при требуемом (или объективно возможном) минимальном объеме издержек. Существенное превышение оптимального объема запасов приводит к так называемому "омертвлению" оборотных средств, а слишком маленькая величина запасов может привести к существенным потерям прибыли и заказчиков из-за неудовлетворенного своевременно спроса. Оптимальный размер заказа товаров, и, следовательно, оптимальная периодичность поставок зависят от влияния следующих факторов:
- объем спроса;
- объем транспортно-заготовительных затрат;
- затрат на хранение запасов.
Размещено на www.сайт
Указанные факторы тесно связаны друг с другом. Например, потребность максимально снизить издержки по хранению запасов приводит к увеличению расходов на оформление и доставку требуемых ресурсов. Чтобы снизить расходы на повторную покупку партии товара, приходится увеличивать издержки, обусловленные содержанием дополнительных складских мощностей, и, кроме того, ухудшает уровень обслуживания потребителей. При максимальной загрузке складских мощностей существенно повышаются расходы на хранение запасов, увеличивается уровень риска возникновения неликвидных запасов, финансовых потерь из-за окончания сроков их годности и т.п. Необходимо также принимать во внимание тот аспект, что интересы разных служб внутри предприятия в отношении политики формирования запасов и определения оптимального размера заказа могут значительно отличаться. Например, отдел материально-технического обеспечения заинтересован в большинстве случаев в такой величине EOQ, чтобы приобретать по возможности больший объем ресурсов, так как может существенно улучшить условия закупки требуемых материалов (например, получить дополнительные скидки и т.п.) и расчетов, а также минимизировать претензии производственных участков относительно несвоевременного или неполного снабжения. Производственные подразделения также заинтересованы в больших объемах запасов, так как это позволяет быстро реализовывать поступающие заявки на восполнение запаса. С точки зрения отдела сбыта большой объем запасов является средством конкурентной борьбы за потребителя. Однако мнение финансовой службы, отвечающей за эффективность управления денежными потоками предприятия, будет противоположным: большая величина EOQ и, следовательно, существенный объем запасов приводят к повышению издержек на их содержание, обслуживание и хранение.
Мерой уровня оптимальности величины заказываемой партии в логистике выступает минимальный объем общих расходов на управление запасами, которые формируются из расходов на выполнение заявки и затрат по хранению запасов. Указанные виды расходов зависят от размера заказа товаров, но при этом характер данной зависимости различный. Охарактеризуем их поведение более подробно.
1. Расходы на выполнение заказа (транспортно-заготовительные расходы) - это дополнительные затраты, возникающие при приобретении материалов и зависящие от величины заявки на восполнение запаса. Расходы по выполнению заказа на партию рассчитываются путем делением величины транспортно-заготовительных расходов предшествующего периода (эта информация берется, как привило, из смет) на количество размещенных за исследуемый период заявок. Смета транспортно-заготовительных расходов включает в себя следующие виды затрат: расходы, связанные с заключением договора поставки (командировочные расходы, представительские расходы на проведение переговоров, расходы на согласование условий поставки, стоимость оформления документов, расходы на печать каталогов и т.п.); расходы на страхование, транспортные расходы; затраты на контроль исполнения заказа и т.п. Расходы на выполнение заказа как на единицу продукции, так и на объем за определенный период снижаются с ростом величины партии поставки.
2. Расходы на хранение запасов включают в себя затраты, связанные с физическим складирование товаров в соответствующих помещениях, а также потенциальные проценты на капитал, инвестированный в покупку запасов. Данные затраты выражаются в процентах от цены приобретения за определенное время. Затраты на хранение определяются средней величиной запасов. Издержки на хранение запаса в случае роста величины заказываемой партии увеличиваются линейно.
Общие затраты на управление запасами за определенный период - это сумма затрат на выполнение заказов и на хранение запасов. Оптимизация размера заказа запасов и товаров производится по двум основным факторам: во-первых, снижение затрат, во-вторых - максимизация уровня удовлетворения спроса. В настоящее время разработаны различные методы оценки оптимальности величины запасов (опытно-статистические, экономико-математические, технико-экономические и т.п.), но их объединяет то, что итогом выступает формирование такой величины запаса (в денежных измерителях или днях), который позволяет обеспечить бесперебойную деятельность предприятия при минимальной величине расходов. Охарактеризуем некоторые из таких методов более подробно. Опытно-статистический метод (метод экспертных оценок или эвристический метод) базируется на оценке статистических данных о запасах. В рамках данного метода чем более детальным является анализ, тем точнее будет информация о величине, структуре, изменениях и оборачиваемости запасов предприятия; тем эффективнее деятельность сотрудника или определенного отдела по определению оптимального размера запасов. Расчет оптимальной величины запаса выполняется посредством оценки её состояния в прошедшее время и субъективного понимания перспектив её динамики. Опыт и квалификация сотрудника делают результат его работы более приближенным к реальности.
Среди экономико-математических методов расчета оптимального размера заказа запасов наиболее часто рассматривают и применяют модель Уилсона (Вильсона). При построении данной модели минимум общих затрат получают там, где первая производная по равняется нулю, а вторая больше нуля. Полученное значение оптимального размера заказываемой партии именуют экономичным размером заказа (Economic Order Quantity, EOQ), которое обеспечивает минимальный объем общих затрат на управление. Данная формула для расчета оптимального размера заказа известна также как формула Уилсона (Вильсона). Формула расчета оптимального размера заказа (формула Уилсона (Вильсона)) следующая:
Условные обозначения в формуле Уилсона (Вильсона):
- Q - оптимальный размер заказа, единиц;
- S - объем потребности в запасе, единиц;
- А - расходы на выполнение одного заказа, руб.;
- I - расходы на содержание единицы запаса, руб.
В рассматриваемой модели при расчете оптимального размера заказа применяются следующие допущения:
- общее количество единиц, образующее годовую потребность, известно;
- уровень спроса не изменяется;
- осуществление заказов происходит немедленно;
- затраты на оформление заказа не зависят от размера партии;
- цены на приобретаемые материалы неизменны в анализируемом периоде;
- время между заказами (поставками) неизменно;
- заказ реализуется полностью;
- емкость складских мощностей не ограничена;
- оцениваются только текущие (регулярные) запасы; прочие виды запасов (например, страховые и т.п.) в расчет не принимаются.
Такое множество допущений привело к возникновению модифицированных формул Уилсона. Например, практика аренды складов, а также калькуляция расходов на хранение на складах некоторых предприятий показывают, что в большинстве случаев в расчет берется не средняя величина партии, а площадь (или объем) складского помещения, которая необходима для хранения всей полученной партии, для чего используется формула:
где: а - расходы на хранение единицы материала с учетом занимаемой площади (объема) склада, руб./кв.м (руб./м3);
к - коэффициент, учитывающий пространственные габариты единицы материала, кв.м./шт. (м3/шт.).
S - рассчитываемый объем поставки, шт.
Тогда формула для определения оптимальной величины заказа товара может быть записана в следующем виде:
Также весьма важным условием, которое требуется принимать во внимание в процессе расчета EOQ, выступает размер скидки. Не секрет, что в случае приобретения большой партии материалов большинство поставщиков предоставляет скидки, величина которых зависит от размера заказа. В большинстве случаев в работах по управлению запасами приводится дискретные зависимости, характеризующие динамику цены единицы закупаемого материала Cn от величины партии S. Здесь возникают различные варианты. В первом случае цена может меняться, а расходы на хранение остаются неизменными, т.е. не зависят от изменения цены. Во втором случае при изменении цены пропорционально изменяются расходы на хранение. Третий, наиболее общий вариант, при котором между динамикой цены и изменяющимися расходами на хранение не имеется однозначной зависимости. Таким образом, учет особенностей формулы Уилсона и ее модификаций позволяет существенно увеличить точность расчета оптимального размера поставки посредством выбора таких вариантов формулы, которая в наибольшей степени соответствует фактической практике реализации заказов и хранения партий сырья на конкретном предприятии. Указанные варианты определения оптимальной величины поставки партии расширяют границы ограничений, принятых при формировании классической формулы Уилсона-Харриса и позволяет принимать во внимание воздействие различных факторов, которые связаны с расходами на хранение партии материалов на складе и величины скидок с базовой цены в зависимости от величины заказываемой партии.
Пример расчета оптимального размера заказа
Приведем пример расчета оптимального размера заказа по формуле Уилсона в системе EOQ. Предположим, что годовая потребность в материалах составляет 1800 ед., стоимость подачи одного заказа составляет 154 у.е., затраты на содержание материала на складе составляет 30 у.е. Тогда пример расчета оптимального размера заказа товаров по формуле Уилсона будет следующим:
Q* = √((2*154*1800)/30) = 136 ед.
Расчет оптимального размера заказа онлайн. Калькулятор расчета оптимального размера заказа
В заключении приводим небольшой онлайн-калькулятор расчета оптимального размера заказа онлайн, используя который, Вы можете самостоятельно выполнить расчет оптимального размера заказа. При заполнении формы калькулятора внимательно соблюдайте размерность полей, что позволит выполнить расчет оптимального размера заказа онлайн быстро и точно. В форме онлайн-калькулятора уже содержатся данные условного примера, чтобы пользователь мог посмотреть, как работает онлайн-калькулятор расчета оптимального размера заказа товаров. Для определения EOQ онлайн по своим данным просто внесите их в соответствующие поля формы онлайн-калькулятора и нажмите кнопку "Выполнить вычисления".
Иногда предприятия накапливают товарные остатки на самые ходовые позиции. Однако увеличивать запасы до бесконечности невозможно. Необходимо определить оптимальные размеры заказа. С этой целью и используется формула Уилсона.
Виды
Остатки на складах делятся на производственные и товарные. К первой категории относятся закупленные запасы, предназначенные для изготовления продукции. Их предназначение - обеспечение бесперебойного процесса производства. Товарные запасы - это остатки на складах и те, что находятся в пути к оптовым и розничным предприятиям.
Текущие запасы предназначены для обеспечения бесперебойного процесса торговли или производства в перерывах между поставками товаров. Страховые запасы накапливаются для той же цели, но в случае возникновения непредвиденных обстоятельств: изменении партии поставки, увеличении спроса, возникновении задержек в пути. В нормальной рыночной ситуации величина страховых запасов не меняется.
Зачем накапливать запасы?
Запасы в экономике обеспечивают стабильную работу системы. Но обходится такой метод достаточно дорого. По данным зарубежных источников, хранение единицы продукции стоимостью в 1 доллар стоит 25 центов в год. Отечественные экономисты приводят аналогичные показатели - 20-30 % от стоимости товара. Если у компании хранятся запасы стоимостью 100 млн руб., то она тратит еще 25 млн на их содержание.
Риски
Хранение запасов имеет ряд недостатков. Это:
- замораживание финансовых ресурсов;
- приостановка процесса улучшения качества, так как организация в первую очередь ликвидирует запасы, а потом закупает новую продукцию;
- изоляция логистики в схеме сбыта;
- расходы на содержание специальных помещений и оплату труда кладовщиков;
- риск потерь в связи с порчей или хищением имущества.
Исходя из того, сколько расходов несет организация на хранение, определяется весь процесс управления запасами. Формула Уилсона помогает запасов, который нужно сократить. Хотя хранение продукции сопряжено с рисками, предприниматели вынуждены на них идти, так как отсутствие запасов влечет за собой потерю прибыли.
Результат расчетов, полученных с помощью модели Уилсона, формула которого была представлена ранее, следует сопоставить с прочими расходами. Затраты на закупку каждого вида изделия должны быть меньше, чем расходы на его хранение. Только тогда имеет смысл создавать запасы.
Проблемы управления
- На размер заказа влияет большое количество факторов: его величина, неравномерный расход, отдаленность поставщика, логистика.
- Запасы могут формироваться как на текущие поставки, так и на сезонные продажи.
- Большое количество систем контроля запасов: от периодического до непрерывного.
- С расширением ассортимента увеличивается риск расчета оптимальной партии поставки. Формула Уилсона этот риск не исключает.
- Увеличение времени выполнения заказа в регионах с дешевой рабочей силой.
Термин
Оптимальный размер заказа (формула Уилсона) — это модель, с помощью которой можно определить экономически обоснованный размер заказа с минимальными издержками. Она применяется при таких условиях:
- Четко известен спрос на продукцию и время доставки товара.
- Получение товара осуществляется мгновенно.
- Отсутствует дефицит и оптовые скидки.
Формула Уилсона
Оптимальный размер заказа ТС = PR + CR / Q + PFQ / 2, где
- Q - размер заказа;
- C — издержки размещения;
- R — ежегодный спрос;
- P — издержки на приобретение 1 штуки продукции;
- F — коэффициент издержек хранения (обычно 10-15%).
- PF — издержки хранения товара за год.
Для кого?
Формула Уилсона разрабатывалась для крупных промышленных предприятий. Ее нельзя применять в таком виде в современных торговых компаниях. Первым делом ее следует расширить, чтобы учесть издержки задалживания и широкий ассортимент продукции. Только после этого можно применять формулу Уилсона на группе весомых (АВС-анализ) и стабильных товаров (XYZ-анализ).
Прочие показатели
Для управления запасами можно использовать не только формулу Уилсона. В экономической теории существует ряд других коэффициентов, которые уточняют результаты расчетов.
Оборачиваемость запасов показывает, сколько раз продукция проходит все циклы реализации за указанный период времени. С помощью этого показателя можно рассчитать возможность получения валовой прибыли с одного рубля, вложенного в покупку товара:
Оз = Стоимость закупленных товаров в месяц (квартал, год) / Средний запас товара за тот же период.
При расчете показателя не берется в учет продукция, купленная под конкретный заказ.
Обеспеченность запасами - на сколько дней хватит текущих запасов организации, если вдруг прекратятся поставки:
Обесп = Стоимость запасов х Число дней / Средний запас товара
Удельный вес запасов в оборотных и необоротных активах:
Уд = Стоимость запасов / ОА (НМА)
АВС-анализ
Этот метод расчета определяет самые важные ресурсы фирмы. Его можно применять на всех видах организаций. Он сформирован по принципу Парео: 80 % оборота дает 20 % товаров. Надежный контроль этой части ресурсов (запасов) даст возможность контролировать систему в целом.
В рамках ABC-анализа товарные позиции делятся на три категории:
- А - самые прибыльные: 20 % ассортимента приносит 80 % заказов.
- В - промежуточные: 30 % ассортимента приносит 15 % продаж.
- С - наименее ценные: 50 % ассортимента приносит 5 % заказов.
ABC-анализ — это ранжирование по параметрам. Причем сортировать можно не только продукцию, но и покупателей, длительность периода продаж, прочие важные статистические данные. Цель - группировка объектов по степени их влияния на конечный результат. В процессе анализа также формируется график, который называется кривой Парето (Лоренца или ABC-кривой). Этот же метод можно использовать для ранжирования клиентов по количеству заказов в логистике. Формула Уилсона для данной цели непригодна.
Группировка объектов может осуществляться по стоимостным показателям. В этом случае складывается доля объектов и общий результат (например, если продукция приносит 50 % заказов, то это значение увеличивается в два раза). Значение сумм находится в пределах от 0 % до 200 %. Группы формируются по таким критериям: А - 100 %, В - 45 %, С - остальные.
XYZ-анализ
Еще один способ определения оптимального заказа - расчет коэффициента вариации (XYZ-анализ). Он отражает разброс значения относительно среднего (объема заказа, уровня продаж, количества клиентов и т. д.). С его помощью можно исключить влияние сезонных факторов на конечный показатель. В процессе расчета используется формула стандартного отклонения в процентах.
Информация ранжируется следующим образом:
- Х - самые незначительные изменения среднего значения (0-10 %);
- У - изменения значений на 10-25 % от среднего;
- Z - изменение значений более чем на 25 %.
Самое большое влияние на конечный результат имеют первые две группы показателей.
Таким образом, прежде чем применять формулу Уилсона, следует определить самые значимые для организации группы товаров, а затем рассчитывать предельный объем запасов.
Условие: В течение месяца компании требуется 3 марки автомобилей для организации продаж. В течение данного периода времени определить:
а) оптимальное количество закупаемых автомобилей;
б) оптимальное число заказов;
в) оптимальные переменные издержки за хранение запасов;
г) разницу между переменными издержками по оптимальному варианту и случаем, когда покупка всей партии проводится в первый день месяца.
Исходные данные (в скобках указаны варианты):
– потребность в автомобилях в течение месяца (шт.) – 1) 67; 2) 37; 3) 29;
– стоимость заказа партии товара (руб.) – 1) 217; 2) 318; 3) 338;
– издержки хранения единицы товара (руб.) – 1) 49; 2) 67; 3) 91.
Решение.
а) оптимальное количество закупаемой бытовой техники в течение месяца вычислим по следующей формуле:
К о = √ 2С з П/И (шт), (1)
где С з – стоимость заказа партии товара (руб.);
П – потребность в бытовой технике в течение месяца (шт.);
И – издержки хранения единицы товара в течение месяца (руб.).
б) оптимальное число заказов бытовой техники в течение месяца вычислим по следующей формуле
Ч = √ ПИ/2С3. (2)
в) оптимальные переменные издержки за хранение запасов в течение месяца вычислим по следующей формуле:
И о = √2ПИС 3 . (3)
г) разницу между переменными издержками по оптимальному варианту и случаем, когда покупка всей партии проводится в первый день месяца, вычислим по следующей формуле:
Р = ИП/2 + С 3 – И о. (4)
4. Определение параметров системы с фиксированным интервалом времени между заказами.
Условие: Годовая потребность в материалах составляет 1550 шт., число рабочих дней в году – 226, оптимальный размер заказа – 75 шт., время поставки – 10 дней, возможная задержка в поставках – 2 дня. Определить параметры системы управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами.
Интервал времени между заказами рассчитывается по формуле:
где I – интервал времени между заказами, дни;
N – число рабочих дней в периоде;
OPZ – оптимальный размер заказа, шт.;
S – потребность, шт.
Таблица 1
Расчет параметров системы управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами
|
Показатель |
Значение |
|
|
Потребность, шт. | ||
|
Интервал времени между заказами, дни |
см. формулу 1 |
|
|
Время поставки, дни | ||
|
Возможная задержка в поставках, дни | ||
|
Ожидаемое дневное потребление, шт./день |
:[число рабочих дней] |
|
|
Ожидаемое потребление за время поставки, шт. | ||
|
Максимальное потребление за время поставки, шт. | ||
|
Гарантийный запас, шт. | ||
|
Максимальный желательный запас, шт. |
5. Определение параметров системы с фиксированным размером заказа.
Условие: Годовая потребность в материалах составляет 1550 шт., число рабочих дней в году – 226, оптимальный размер заказа – 75 шт., время поставки – 10 дней, возможная задержка в поставках – 2 дня. Определить параметры системы управления запасами с фиксированным размером заказа.
Порядок расчета параметров системы управления запасами с фиксированным размером заказа представлен в табл. 2.
